Упр.62 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите полную поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если её боковое ребро $$a$$, а радиус окружности, вписанной в основание, $$r$$.
Основание правильной шестиугольной пирамиды — правильный шестиугольник. Для него радиус вписанной окружности равен
$$r=\frac{\sqrt{3}}{2}x,$$
где $$x$$ — сторона шестиугольника. Тогда
$$x=\frac{2r}{\sqrt{3}}=\frac{2r\sqrt{3}}{3}.$$
Площадь основания:
$$S_{\text{осн}}=6\cdot \frac{x^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{1}{4}\left(\frac{2r\sqrt{3}}{3}\right)^2\sqrt{3}=2r^2\sqrt{3}.$$
Найдём апофему пирамиды $$SM$$. В правильной пирамиде $$SO\perp A_1A_2\dots A_6$$, а $$OM\perp A_1A_2$$, поэтому $$SM\perp A_1A_2$$. В прямоугольном треугольнике $$SA_2M$$ имеем
$$MA_2=\frac{x}{2}=\frac{r\sqrt{3}}{3},$$
так как $$M$$ — середина стороны основания. Тогда по теореме Пифагора
$$SM=\sqrt{SA_2^2-MA_2^2}=\sqrt{a^2-\frac{r^2}{3}}.$$
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:
$$S_{\text{бок}}=\frac{P\cdot SM}{2},$$
где $$P=6x$$ — периметр основания. Следовательно,
$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \frac{2r\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{a^2-\frac{r^2}{3}}=2r\sqrt{3a^2-r^2}.$$
Тогда полная поверхность пирамиды равна
$$S=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}=2r\sqrt{3a^2-r^2}+2r^2\sqrt{3}.$$
Ответ: $$2r\left(\sqrt{3a^2-r^2}+r\sqrt{3}\right).$$
