Упр.62 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Найдите полную поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро а, a радиус окружности, вписанной в основание, r.

Основание правильной шестиугольной пирамиды — правильный шестиугольник. Если радиус вписанной в него окружности равен $$r,$$ то сторона шестиугольника

$$A_1A_2=\frac{2r}{\sqrt{3}}=\frac{2r\sqrt{3}}{3}.$$

Площадь основания:

$$ S_{\text{осн}}=6\cdot \frac{A_1A_2^2\sqrt{3}}{4} =6\cdot \frac{\left(\frac{2r\sqrt{3}}{3}\right)^2\sqrt{3}}{4} =2r^2\sqrt{3}. $$

Проведём $$SO\perp A_1A_2\dots A_6$$ и $$OM\perp A_1A_1,$$ тогда $$MB=r$$ и $$SM\perp A_1A_1$$ по теореме о трёх перпендикулярах.

В прямоугольном треугольнике $$SA_2M$$ имеем

$$MA_2=\frac{1}{2}A_1A_2=\frac{r\sqrt{3}}{3}.$$

Тогда по теореме Пифагора

$$ SM=\sqrt{SA_2^2-MA_2^2} =\sqrt{a^2-\frac{r^2}{3}}. $$

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна

$$ S_{\text{бок}}=\frac{P_{\text{осн}} \cdot SM}{2}, $$

где $$P_{\text{осн}}=6A_1A_2.$$ Поэтому

$$ S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \frac{2r\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{a^2-\frac{r^2}{3}} =2r\sqrt{3a^2-r^2}. $$

Полная поверхность пирамиды:

$$ S=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}} =2r\sqrt{3a^2-r^2}+2r^2\sqrt{3} =2r\left(\sqrt{3a^2-r^2}+r\sqrt{3}\right). $$

Ответ

$$2r\left(r\sqrt{3}+\sqrt{3a^2-r^2}\right).$$