Упр.62 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Из вершины прямого угла A треугольника ABC восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите косинус угла ф между векторами BC и BD, если угол ABD равен а, a угол ABC равен р.

Угол между векторами $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$ равен углу $$\angle DBC=\varphi$$.

Опустим перпендикуляр $$DE$$ на прямую $$BC$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$AE \perp BC$$.

Следовательно, треугольники $$BAD$$ и $$BAE$$ — прямоугольные.

Из треугольника $$BAD$$ получаем:

$$BA=BD\cdot \cos \alpha.$$

Из треугольника $$BAE$$:

$$BE=BA\cdot \cos \beta.$$

Подставим найденное значение $$BA$$:

$$BE=BD\cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta.$$

Тогда

$$\cos \varphi=\frac{BE}{BD}=\frac{BD\cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta}{BD}=\cos \alpha \cdot \cos \beta.$$

Ответ

$$\cos \varphi=\cos \alpha \cdot \cos \beta.$$