Упр.62 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 4-62. Из вершины прямого угла \(A\) треугольника \(ABC\) восставлен перпендикуляр \(AD\) к плоскости треугольника. Найдите косинус угла \(\varphi\) между векторами \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{BD}\), если угол \(ABD\) равен \(\alpha\), а угол \(ABC\) равен \(\beta\).

Угол между векторами $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$ равен углу $$\angle DBC=\varphi$$.

Опустим перпендикуляр $$DE$$ на прямую $$BC$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$AE\perp BC$$, значит, треугольники $$BAD$$ и $$BAE$$ прямоугольные.

Из треугольника $$BAD$$ получаем:

$$BA=BD\cdot \cos\alpha.$$

Из треугольника $$BAE$$:

$$BE=BA\cdot \cos\beta.$$

Подставим найденное значение $$BA$$:

$$BE=BD\cdot \cos\alpha\cdot \cos\beta.$$

Тогда

$$\cos\varphi=\frac{BE}{BD}=\frac{BD\cdot \cos\alpha\cdot \cos\beta}{BD}=\cos\alpha\cdot \cos\beta.$$

Ответ: $$\cos\varphi=\cos\alpha\cdot \cos\beta.$$