Упр.61 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 4-61. Докажите, что угол $$\varphi$$ между прямыми, содержащими векторы $$a$$ и $$b$$, определяется из уравнения $$|ab|=|a|\cdot|b|\cos\varphi$$.

Переместим векторы так, чтобы они начинались в одной точке $$A$$. Обозначим их концы через $$B$$ и $$C$$. Тогда

$$\vec a=\overrightarrow{AC},\qquad \vec b=\overrightarrow{AB}.$$

По правилу треугольника

$$\overrightarrow{CB}=\vec b-\vec a.$$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По теореме косинусов

$$BC^2=AC^2+AB^2-2\cdot AC\cdot AB\cdot \cos\varphi.$$

С другой стороны,

$$BC^2=|\vec b-\vec a|^2,$$

а также $$AC=|\vec a|$$, $$AB=|\vec b|$$. Поэтому

$$|\vec b-\vec a|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\varphi.$$

Но по формуле скалярного произведения

$$|\vec b-\vec a|^2=(\vec b-\vec a)^2=\vec a^2+\vec b^2-2\vec a\cdot\vec b.$$

Сравнивая эти равенства, получаем

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\varphi.$$

Следовательно, угол $$\varphi$$ между прямыми, содержащими векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$, определяется формулой

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\varphi.$$