Упр.61 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 3-61. Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ перпендикулярны. В плоскости $$\alpha$$ взята точка $$A$$, расстояние от которой до прямой $$c$$ (линии пересечения плоскостей) равно $$0{,}5\ \text{м}$$. В плоскости $$\beta$$ проведена прямая $$b$$, параллельная прямой $$c$$ и отстоящая на $$1{,}2\ \text{м}$$ от неё. Найдите расстояние от точки $$A$$ до прямой $$b$$.

Пусть $$AB$$ — расстояние от точки $$A$$ до прямой $$c$$, тогда $$AB=0{,}5\text{ м}$$. Проведём в плоскости $$\beta$$ через точку $$B$$ прямую $$BC$$, перпендикулярную прямой $$c$$. Так как $$b \parallel c$$, то $$BC$$ равно расстоянию между прямыми $$b$$ и $$c$$, значит $$BC=1{,}2\text{ м}$$.

Поскольку плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ перпендикулярны, а прямая $$c$$ лежит в плоскости $$\beta$$, то прямая $$AB$$, перпендикулярная $$c$$ в плоскости $$\alpha$$, перпендикулярна и прямой $$BC$$. Следовательно, треугольник $$ABC$$ прямоугольный.

Тогда по теореме Пифагора:

$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{0{,}5^2+1{,}2^2}=\sqrt{0{,}25+1{,}44}=\sqrt{1{,}69}=1{,}3\text{ м}.$$

Ответ: $$1{,}3\text{ м}$$.