Упр.60 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: По данной стороне основания а и высоте b найдите апофему правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырех угольной; 3) шестиугольной.
Обозначим через $$S$$ вершину пирамиды, через $$O$$ — центр основания, через $$M$$ — середину стороны основания, к которой проведена апофема. Тогда $$SO=b$$ — высота пирамиды, а $$OM=r$$ — радиус вписанной окружности основания.
Треугольник $$SOM$$ прямоугольный, поэтому апофема $$l=SM$$ находится по теореме Пифагора:
$$SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{b^2+r^2}.$$
Для правильного $$n$$-угольника радиус вписанной окружности равен
$$r=\frac{a}{2\tg\frac{180^\circ}{n}}.$$
Теперь найдём $$r$$ для каждого основания.
1) Правильная треугольная пирамида.
Для равностороннего треугольника
$$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$
Тогда
$$SM=\sqrt{b^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2}=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{12}}.$$
2) Правильная четырёхугольная пирамида.
Для квадрата
$$r=\frac{a}{2}.$$
Следовательно,
$$SM=\sqrt{b^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}.$$
3) Правильная шестиугольная пирамида.
Для правильного шестиугольника
$$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$
Тогда
$$SM=\sqrt{b^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{b^2+\frac{3a^2}{4}}.$$
Ответ
1) $$\sqrt{b^2+\frac{a^2}{12}}$$; 2) $$\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}$$; 3) $$\sqrt{b^2+\frac{3a^2}{4}}$$.