Упр.60 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

По данной стороне основания $$a$$ и высоте $$b$$ найдите апофему правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

Пусть $$SO=b$$ — высота правильной пирамиды, а $$SM$$ — её апофема. Тогда в прямоугольном треугольнике $$SOM$$

$$SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{b^2+r^2},$$

где $$r$$ — радиус вписанной окружности основания.

Для правильного $$n$$-угольника

$$r=\frac{a}{2\tg\frac{180^\circ}{n}}.$$

1) Для правильного треугольника:

$$r=\frac{a\sqrt3}{6},$$

$$SM=\sqrt{b^2+\left(\frac{a\sqrt3}{6}\right)^2}=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{12}}.$$

2) Для правильного четырёхугольника:

$$r=\frac{a}{2},$$

$$SM=\sqrt{b^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}.$$

3) Для правильного шестиугольника:

$$r=\frac{a\sqrt3}{2},$$

$$SM=\sqrt{b^2+\left(\frac{a\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt{b^2+\frac{3a^2}{4}}.$$

Ответ: 1) $$\sqrt{b^2+\frac{a^2}{12}}$$; 2) $$\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}$$; 3) $$\sqrt{b^2+\frac{3a^2}{4}}$$.