Упр.60 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 4-60. Даны три точки $$A(0; 1; -1)$$, $$B(1; -1; 2)$$, $$C(3; 1; 0)$$. Найдите косинус угла $$C$$ треугольника $$ABC$$.

Угол $$C$$ треугольника $$ABC$$ — это угол между векторами $$\overrightarrow{CA}$$ и $$\overrightarrow{CB}$$.

Найдём координаты этих векторов:

$$\overrightarrow{CA}=(0-3;\,1-1;\,-1-0)=(-3;\,0;\,-1),$$

$$\overrightarrow{CB}=(1-3;\,-1-1;\,2-0)=(-2;\,-2;\,2).$$

Вычислим их длины:

$$|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{(-3)^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{10},$$

$$|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{12}.$$

Теперь найдём косинус угла между векторами:

$$\cos C=\frac{\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{CB}|}.$$

Скалярное произведение равно:

$$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=(-3)(-2)+0\cdot(-2)+(-1)\cdot 2=6-2=4.$$

Тогда

$$\cos C=\frac{4}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{12}}=\frac{4}{\sqrt{120}}=\sqrt{\frac{16}{120}}=\sqrt{\frac{2}{15}}.$$

Ответ: $$\cos C=\sqrt{\frac{2}{15}}$$.