Упр.60 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Точка находится на расстояниях $$a$$ и $$b$$ от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей (рис. 66).

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$c$$. Проведём из точки $$A$$ перпендикуляры $$AB \perp \alpha$$ и $$AD \perp \beta$$, а также $$AC \perp c$$. Тогда $$AB=b$$, $$AD=a$$.

Рассмотрим отрезок $$BC$$. Он является проекцией наклонной $$AC$$ на плоскость $$\alpha$$, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах $$BC \perp c$$. Кроме того, так как $$AD \perp \beta$$ и $$BC \subset \beta$$, то $$AD \parallel BC$$. Следовательно, четырёхугольник $$ABCD$$ — прямоугольник.

Тогда диагональ этого прямоугольника равна

$$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{b^2+a^2}=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Ответ: $$\sqrt{a^2+b^2}$$.