Упр.60 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Точка находится на расстояниях а и b от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей (рис. 66).

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$c$$. Из точки $$A$$ опустим перпендикуляры $$AB \perp \alpha$$ и $$AD \perp \beta$$, где $$AB=b$$, $$AD=a$$.

Проведём через точку $$A$$ прямую $$AC$$, перпендикулярную прямой $$c$$. Тогда отрезок $$BC$$ является проекцией наклонной $$AC$$ на плоскость $$\alpha$$, а по теореме о трёх перпендикулярах имеем $$BC \perp c$$ и $$BC \perp \beta$$.

Так как $$AD \perp \beta$$ и $$BC \perp \beta$$, то $$AD \parallel BC$$. Следовательно, точки $$A, B, C, D$$ лежат в одной плоскости, и четырёхугольник $$ABCD$$ — прямоугольник.

Тогда диагональ прямоугольника $$AC$$ находится по теореме Пифагора:

$$ AC=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{a^2+b^2}. $$

Искомое расстояние от точки $$A$$ до прямой пересечения плоскостей равно $$AC$$.

Ответ

$$\sqrt{a^2+b^2}$$