Упр.6 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте цилиндра) точка окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего основания. Угол между радиусами, проведёнными в эти точки, равен $$60^\circ$$. Найдите угол $$x$$ между проведённой прямой и осью цилиндра (рис. 155).

Проведём через отрезок $$AC$$ плоскость $$ABCD$$, параллельную оси цилиндра. Тогда сечение цилиндра этой плоскостью — прямоугольник, причём $$AB \parallel OO_1$$ и $$BC \parallel AO$$.

Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$BO_1C$$. Так как $$BA \parallel DC \parallel OO_1$$ и $$BA=DC=OO_1$$, то эти треугольники можно совместить параллельным переносом. Поэтому

$$\angle BO_1C=\angle AO_1C=60^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$BO_1C$$ равносторонний, значит $$BC=r$$, где $$r$$ — радиус основания цилиндра.

Искомый угол $$x$$ — это угол между $$AC$$ и осью цилиндра, то есть $$x=\angle BAC$$.

В прямоугольном треугольнике $$BAC$$ имеем:

$$AB=2r,\qquad BC=r.$$

Тогда

$$\tan x=\tan \angle BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{r}{2r}=\frac12.$$

Значит,

$$x=\arctg \frac12.$$

Ответ: $$\arctg \frac12$$.