Упр.6 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Найдите точки, равноотстоящие от точек (0; 0; 1), (0; 1; (1; 0; 0) и отстоящие от плоскости yz на расстояние 2.

Подробный ответ

Пусть искомая точка имеет координаты $$K(x;y;z).$$

Так как расстояние от точки $$K$$ до плоскости $$yz$$ равно $$2,$$ то $$|x|=2,$$ значит, $$x=2$$ или $$x=-2.$$

По условию точка $$K$$ равноудалена от точек $$A(0;0;1),\ B(0;1;0),\ C(1;0;0).$$ Тогда

$$KA^2=(x-0)^2+(y-0)^2+(z-1)^2=x^2+y^2+z^2-2z+1,$$
$$KB^2=(x-0)^2+(y-1)^2+(z-0)^2=x^2+y^2+z^2-2y+1,$$
$$KC^2=(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=x^2+y^2+z^2-2x+1.$$

Из равенства $$KA=KB$$ получаем

$$x^2+y^2+z^2-2z+1=x^2+y^2+z^2-2y+1,$$
$$y=z.$$

Из равенства $$KA=KC$$ имеем

$$x^2+y^2+z^2-2z+1=x^2+y^2+z^2-2x+1,$$
$$x=z.$$

Следовательно, $$x=y=z.$$ С учётом условия $$|x|=2$$ получаем две точки:

$$K_1(2;2;2), \qquad K_2(-2;-2;-2).$$