Упр.6 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$X$$ — произвольная точка прямой $$a$$. Так как $$O$$ — центр описанной около $$\triangle ABC$$ окружности, то

$$OA=OB=OC=r.$$

Поскольку $$a \perp (ABC)$$, то прямая $$XO$$, лежащая на $$a$$, перпендикулярна каждой прямой плоскости $$ABC$$, проходящей через точку $$O$$. Значит,

$$XO \perp OA,\quad XO \perp OB,\quad XO \perp OC.$$

Тогда треугольники $$XOA$$, $$XOB$$ и $$XOC$$ — прямоугольные, причём у них общий катет $$XO$$ и равные катеты $$OA=OB=OC$$. Следовательно,

$$XA=XB=XC.$$

Значит, любая точка прямой $$a$$ равноудалена от вершин треугольника $$ABC$$.