Упр.6 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника (рис. 62).

Подробный ответ

Пусть $$X$$ — произвольная точка прямой $$a$$. Так как $$O$$ — центр описанной около $$\triangle ABC$$ окружности, то

$$OA=OB=OC=r.$$

Поскольку $$a \perp (ABC)$$ и точка $$O$$ лежит в плоскости $$ABC$$, то прямая $$XO$$ перпендикулярна каждой из прямых $$OA$$, $$OB$$ и $$OC$$:

$$XO \perp OA,\quad XO \perp OB,\quad XO \perp OC.$$

Следовательно, треугольники $$XOA$$, $$XOB$$ и $$XOC$$ — прямоугольные, у них общий катет $$XO$$ и равные катеты $$OA=OB=OC$$. Значит,

$$\triangle XOA \cong \triangle XOB \cong \triangle XOC.$$

Отсюда

$$XA=XB=XC.$$

Итак, любая точка прямой $$a$$ равноудалена от вершин треугольника $$ABC$$.