Упр.6 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Решите задачу 5, если отрезок $$AB$$ пересекает плоскость.

Подробный ответ

Пусть через точки $$A$$, $$B$$ и середину $$M$$ отрезка $$AB$$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $$\alpha$$ в точках $$A_1$$, $$B_1$$ и $$M_1$$ соответственно.

Так как прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$MM_1$$ параллельны и пересекают прямую $$AB$$, то они лежат в одной плоскости $$\beta$$. Следовательно, точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$M_1$$ лежат на одной прямой — линии пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$.

Рассмотрим треугольник $$BAB_1$$. Точка $$C$$ — середина отрезка $$AB_1$$, значит $$MC$$ — средняя линия треугольника $$BAB_1$$, поэтому

$$MC=\frac{1}{2}BB_1.$$

Рассмотрим треугольник $$AA_1B_1$$. Тогда $$M_1C$$ — средняя линия этого треугольника, откуда

$$M_1C=\frac{1}{2}AA_1.$$

Тогда

$$MM_1=\left|MC-M_1C\right|=\left|\frac{1}{2}BB_1-\frac{1}{2}AA_1\right|=\frac{1}{2}\left|BB_1-AA_1\right|.$$

Значит, искомая длина равна половине разности длин отрезков $$AA_1$$ и $$BB_1$$:

$$MM_1=\frac{1}{2}\left|BB_1-AA_1\right|.$$

В частности:

если $$AA_1=5\text{ м}$$, $$BB_1=7\text{ м}$$, то $$MM_1=\frac{1}{2}\cdot|7-5|=1\text{ м}$$;
если $$AA_1=3{,}6\text{ дм}$$, $$BB_1=4{,}8\text{ дм}$$, то $$MM_1=\frac{1}{2}\cdot|4{,}8-3{,}6|=0{,}6\text{ дм}$$;
если $$AA_1=8{,}3\text{ см}$$, $$BB_1=4{,}1\text{ см}$$, то $$MM_1=\frac{1}{2}\cdot|4{,}1-8{,}3|=2{,}1\text{ см}$$;
в общем случае, если $$AA_1=a$$, $$BB_1=b$$, то $$MM_1=\frac{1}{2}|b-a|.$$