Упр.6 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Докажите, что если две медианы или две биссектрисы треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике стороны равны $$a$$, $$b$$ и $$c$$.

1) Если равны две биссектрисы. Пусть $$l_a=l_b$$. Для биссектрис треугольника имеем формулы:

$$ l_a=\frac{\sqrt{bc\bigl((b+c)^2-a^2\bigr)}}{b+c}, \qquad l_b=\frac{\sqrt{ac\bigl((a+c)^2-b^2\bigr)}}{a+c}. $$

Из равенства $$l_a=l_b$$ получаем:

$$ \frac{\sqrt{bc\bigl((b+c)^2-a^2\bigr)}}{b+c} = \frac{\sqrt{ac\bigl((a+c)^2-b^2\bigr)}}{a+c}. $$

Возведём обе части в квадрат:

$$ \frac{bc\bigl((b+c)^2-a^2\bigr)}{(b+c)^2} = \frac{ac\bigl((a+c)^2-b^2\bigr)}{(a+c)^2}. $$

После преобразований получаем:

$$ (b-a)\bigl(3abc+c^2(a+b)+c^3+ab(a+b)\bigr)=0. $$

Скобка не может обращаться в нуль для положительных $$a$$, $$b$$, $$c$$, значит

$$a=b.$$

Следовательно, треугольник равнобедренный.

2) Если равны две медианы. Пусть $$m_a=m_b$$. Для медиан треугольника:

$$ m_a=\frac12\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}, \qquad m_b=\frac12\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}. $$

Из равенства $$m_a=m_b$$ имеем:

$$ \frac12\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2} = \frac12\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}. $$

Возведём обе части в квадрат:

$$ 2(b^2+c^2)-a^2=2(a^2+c^2)-b^2. $$

Переносим слагаемые:

$$ 2b^2-a^2=2a^2-b^2, $$

откуда

$$ 3b^2=3a^2 \quad \Rightarrow \quad a^2=b^2. $$

Так как длины сторон положительны, то $$a=b$$. Значит, треугольник равнобедренный.

Ответ

Если две медианы или две биссектрисы треугольника равны, то соответствующие стороны равны, следовательно, треугольник равнобедренный.