Упр.59 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Из точек $$A$$ и $$B$$, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры $$AC$$ и $$BD$$ на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка $$AB$$, если:
1) $$AC=6\ \text{м}$$, $$BD=7\ \text{м}$$, $$CD=6\ \text{м}$$;
2) $$AC=3\ \text{м}$$, $$BD=4\ \text{м}$$, $$CD=12\ \text{м}$$;
3) $$AD=4\ \text{м}$$, $$BC=7\ \text{м}$$, $$CD=1\ \text{м}$$;
4) $$AD=BC=5\ \text{м}$$, $$CD=1\ \text{м}$$;
5) $$AC=a$$, $$BD=5$$, $$CD=c$$;
6) $$AD=a$$, $$BC=b$$, $$CD=c$$.
Так как плоскости перпендикулярны, то прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна и другой плоскости. Поэтому
$$AC \perp CB,\qquad BD \perp AD.$$
Далее используем теорему Пифагора в соответствующих прямоугольных треугольниках.
$$CB=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{6^2+7^2}=\sqrt{85}.$$
$$AB=\sqrt{AC^2+CB^2}=\sqrt{6^2+85}=\sqrt{121}=11\text{ м}.$$
$$CB=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{160}.$$
$$AB=\sqrt{AC^2+CB^2}=\sqrt{3^2+160}=\sqrt{169}=13\text{ м}.$$
$$AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}.$$
$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{15+7^2}=\sqrt{64}=8\text{ м}.$$
$$AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}.$$
$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{24+5^2}=\sqrt{49}=7\text{ м}.$$
$$CB=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{c^2+b^2}.$$
$$AB=\sqrt{AC^2+CB^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$
$$AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{a^2-c^2}.$$
$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{a^2-c^2+b^2}.$$
Ответ: 1) $$11\text{ м}$$; 2) $$13\text{ м}$$; 3) $$8\text{ м}$$; 4) $$7\text{ м}$$; 5) $$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$; 6) $$\sqrt{a^2+b^2-c^2}$$.
