Упр.58 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Найдите двугранный угол x при основании пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$ABCDS$$ — правильная четырёхугольная пирамида, $$\alpha$$ — плоский угол при вершине, $$x$$ — двугранный угол при основании.

Высота $$SO$$ правильной пирамиды проходит через центр $$O$$ квадрата $$ABCD$$, то есть $$O$$ — точка пересечения диагоналей $$AC$$ и $$BD$$.

Опустим перпендикуляр $$SM \perp DC$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$OM \perp DC$$, значит, $$OM$$ — расстояние от центра квадрата до стороны $$DC$$, то есть

$$OM=\frac{AB}{2}.$$

В треугольнике $$DSC$$ имеем $$DS=SC$$, поэтому он равнобедренный. Так как $$\angle DSC=\alpha$$, то $$SM$$ — высота и биссектриса, следовательно,

$$\angle DSM=\frac{\alpha}{2}, \qquad DM=\frac{AB}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SMD$$:

$$SM=\frac{DM}{\tg \frac{\alpha}{2}}=\frac{AB}{2\tg \frac{\alpha}{2}}.$$

Угол $$\angle SMO=x$$ является линейным углом двугранного угла при основании. Тогда в прямоугольном треугольнике $$SMO$$

$$\cos x=\frac{OM}{SM}=\frac{\frac{AB}{2}}{\frac{AB}{2\tg \frac{\alpha}{2}}}=\tg \frac{\alpha}{2}.$$