Упр.58 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Векторы а, b, с единичной длины образуют попарно углы 60°. Найдите угол ф между векторами: 1) а и b + с; 2) а и b — с.

Так как векторы $$\vec a$$, $$\vec b$$ и $$\vec c$$ единичной длины и попарно образуют углы $$60^\circ$$, то

$$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1,$$

а также

$$\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=\vec b\cdot\vec c=1\cdot 1\cdot \cos 60^\circ=\frac12.$$

1) Найдём угол между $$\vec a$$ и $$\vec b+\vec c$$.

Сначала вычислим скалярное произведение:

$$\vec a\cdot(\vec b+\vec c)=\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c=\frac12+\frac12=1.$$

Теперь найдём длину вектора $$\vec b+\vec c$$:

$$|\vec b+\vec c|=\sqrt{(\vec b+\vec c)^2}=\sqrt{\vec b^{\,2}+\vec c^{\,2}+2\vec b\cdot\vec c}=\sqrt{1+1+2\cdot\frac12}=\sqrt3.$$

Тогда

$$\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot(\vec b+\vec c)}{|\vec a|\cdot|\vec b+\vec c|}=\frac{1}{1\cdot\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}.$$

2) Найдём угол между $$\vec a$$ и $$\vec b-\vec c$$.

Имеем

$$\vec a\cdot(\vec b-\vec c)=\vec a\cdot\vec b-\vec a\cdot\vec c=\frac12-\frac12=0.$$

Следовательно,

$$\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot(\vec b-\vec c)}{|\vec a|\cdot|\vec b-\vec c|}=0,$$

откуда $$\varphi=90^\circ.$$

Ответ

1) $$\cos\varphi=\frac1{\sqrt3}$$; 2) $$\varphi=90^\circ$$.