Упр.58 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Подробный ответ

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$c$$. По условию прямая $$a$$ лежит в плоскости $$\alpha$$ и $$a \perp c$$.

Возьмём точку $$C = a \cap c$$ и проведём через неё в плоскости $$\beta$$ прямую $$b$$, такую что $$b \perp c$$.

Тогда прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются в точке $$C$$ и задают плоскость $$\gamma$$. Поскольку в плоскости $$\gamma$$ две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$ перпендикулярны прямой $$c$$, то $$c \perp \gamma$$.

Так как $$c \subset \beta$$ и $$c \perp \gamma$$, а прямая $$a \subset \gamma$$, то из условия $$a \perp c$$ и свойства перпендикулярности плоскостей получаем, что $$a \perp \beta$$.

Следовательно, если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.