Упр.58 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 3-58. Докажите, что если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$c$$.

По условию прямая $$a$$ лежит в плоскости $$\alpha$$ и $$a \perp c$$.

Возьмём точку $$C$$ — точку пересечения прямых $$a$$ и $$c$$. Через точку $$C$$ в плоскости $$\beta$$ проведём прямую $$b$$ так, что $$b \perp c$$.

Тогда плоскость $$\gamma$$, проходящая через прямые $$a$$ и $$b$$, перпендикулярна прямой $$c$$.

Так как $$\alpha \perp \beta$$, то прямая $$a$$, лежащая в плоскости $$\alpha$$ и перпендикулярная линии пересечения $$c$$, перпендикулярна плоскости $$\beta$$. Следовательно, $$a \perp b$$.

Но прямая $$b$$ лежит в плоскости $$\beta$$ и проходит через точку $$C$$, значит, прямая $$a$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$b$$ и $$c$$, лежащим в плоскости $$\beta$$. Поэтому $$a \perp \beta$$.

Что и требовалось доказать.