Упр.57 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Векторы а и b образуют угол 60°, а вектор с им перпендикулярен. Найдите абсолютную величину вектора а + b + с.

Найдём квадрат длины суммы векторов:

$$ |\vec a+\vec b+\vec c|=\sqrt{(\vec a+\vec b+\vec c)^2} $$

Раскроем квадрат:
$$ (\vec a+\vec b+\vec c)^2=\vec a^{\,2}+\vec b^{\,2}+\vec c^{\,2}+2\vec a\cdot\vec b+2\vec a\cdot\vec c+2\vec b\cdot\vec c. $$

Так как $$\vec c \perp \vec a$$ и $$\vec c \perp \vec b$$, то
$$ \vec a\cdot\vec c=0,\qquad \vec b\cdot\vec c=0. $$
Тогда
$$ (\vec a+\vec b+\vec c)^2=\vec a^{\,2}+\vec b^{\,2}+\vec c^{\,2}+2\vec a\cdot\vec b. $$

Угол между $$\vec a$$ и $$\vec b$$ равен $$60^\circ$$, значит
$$ \vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cos 60^\circ=\frac12|\vec a|\cdot|\vec b|. $$

Следовательно,
$$ (\vec a+\vec b+\vec c)^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+|\vec a|\cdot|\vec b|. $$

Тогда
$$ |\vec a+\vec b+\vec c|=\sqrt{|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+|\vec a|\cdot|\vec b|}. $$

Ответ

$$ \sqrt{|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+|\vec a|\cdot|\vec b|} $$