Упр.57 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

3-57. Из вершин $$A$$ и $$B$$ острых углов прямоугольного треугольника $$ABC$$ восставлены перпендикуляры $$AA_1$$ и $$BB_1$$ к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины $$C$$ до середины отрезка $$A_1B_1$$, если $$A_1C = 4\ м$$, $$A_1A = 3\ м$$, $$B_1C = 6\ м$$, $$B_1B = 2\ м$$ и отрезок $$A_1B_1$$ не пересекает плоскость треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$K$$ — середина отрезка $$A_1B_1$$, а $$K_1$$ — проекция точки $$K$$ на плоскость $$ABC$$. Тогда $$CK_1$$ — искомое расстояние от точки $$C$$ до середины отрезка $$A_1B_1$$.

Так как $$AA_1 \perp (ABC)$$ и $$BB_1 \perp (ABC)$$, то $$AA_1 \parallel BB_1$$. Следовательно, точки $$A, B, A_1, B_1$$ лежат в одной плоскости, а четырёхугольник $$AA_1B_1B$$ — трапеция. Поскольку $$K$$ — середина боковой стороны $$A_1B_1$$, прямая $$KK_1$$ является средней линией этой трапеции, значит

$$KK_1=\frac{AA_1+BB_1}{2}=\frac{3+2}{2}=\frac{5}{2}.$$

Найдём сначала стороны прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$BC=\sqrt{B_1C^2-BB_1^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32},$$

$$AC=\sqrt{A_1C^2-AA_1^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}.$$

Так как $$\angle ACB=90^\circ$$, то

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{7+32}=\sqrt{39}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ точка $$K_1$$ — центр описанной окружности, поэтому

$$CK_1=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{39}}{2}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$CKK_1$$ получаем

$$CK=\sqrt{CK_1^2+KK_1^2}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{39}}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{39+25}{4}}=\sqrt{16}=4.$$