Упр.56 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной треугольной пирамиде с высотой $$h$$ через сторону основания $$a$$ проведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое ребро под прямым углом. Найдите площадь сечения.

Пусть плоскость сечения пересекает ребро $$BC$$ в точке $$D$$, а сторону $$AC$$ — в точке $$M$$. Тогда сечение — треугольник $$AMD$$.

Так как пирамида $$ABCS$$ правильная, то $$AB=BC=CA=a$$, а высота $$SH=h$$ проходит через центр описанной около $$\triangle ABC$$ окружности. Поэтому

$$BH=R=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$SBH$$:

$$SB=\sqrt{SH^2+BH^2}=\sqrt{h^2+\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{3h^2+a^2}{3}}.$$

Плоскость $$ADC$$ перпендикулярна ребру $$BS$$, значит треугольники $$ADB$$ и $$CDB$$ прямоугольные. Кроме того, $$AB=BC$$, а $$DB$$ — общий катет, следовательно, $$AD=DC$$. Значит, $$\triangle ADC$$ равнобедренный, и если $$M$$ — середина $$AC$$, то $$DM\perp AC$$.

В равностороннем треугольнике $$ABC$$ медиана $$BM$$ является высотой, поэтому

$$BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Треугольники $$SHB$$ и $$MDB$$ подобны, так как $$\angle SHB=\angle MDB=90^\circ$$ и $$\angle SBH=\angle MBD$$. Тогда

$$\frac{MD}{SH}=\frac{MB}{SB},$$

откуда

$$MD=\frac{SH\cdot MB}{SB}=\frac{h\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\frac{3h^2+a^2}{3}}} =\frac{3ah}{2\sqrt{3h^2+a^2}}.$$

Теперь найдём площадь сечения:

$$S_{\triangle AMD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot MD=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{3ah}{2\sqrt{3h^2+a^2}} =\frac{3a^2h}{4\sqrt{a^2+3h^2}}.$$

Ответ: $$\frac{3a^2h}{4\sqrt{a^2+3h^2}}$$.