Упр.56 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из вершин $$A$$ и $$B$$ равностороннего треугольника $$ABC$$ восставлены перпендикуляры $$AA_1$$ и $$BB_1$$ к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины $$C$$ до середины отрезка $$A_1B_1$$, если $$AB=2\text{ м}$$, $$CA_1=3\text{ м}$$, $$CB_1=7\text{ м}$$ и отрезок $$A_1B_1$$ не пересекает плоскость треугольника.

Пусть $$K$$ — середина отрезка $$AB$$, а $$K_1$$ — середина отрезка $$A_1B_1$$. Проведём через точку $$C$$ прямую $$CK$$, перпендикулярную $$AB$$. Тогда, так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, прямая $$CK$$ является и медианой, и высотой, а значит, $$K$$ — середина $$AB$$.

Так как $$AA_1 \perp (ABC)$$ и $$BB_1 \perp (ABC)$$, то прямые $$AA_1$$ и $$BB_1$$ параллельны. Следовательно, четырёхугольник $$AA_1B_1B$$ — трапеция, а отрезок $$KK_1$$, соединяющий середины её боковых сторон, является средней линией. Поэтому

$$KK_1=\frac{AA_1+BB_1}{2}.$$

Найдём высоты:

$$AA_1=\sqrt{CA_1^2-CA^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5,$$

$$BB_1=\sqrt{CB_1^2-CB^2}=\sqrt{7^2-2^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5.$$

Тогда

$$KK_1=\frac{\sqrt5+3\sqrt5}{2}=2\sqrt5.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$CKK_1$$. В равностороннем треугольнике $$ABC$$ угол $$\angle ACB=60^\circ$$, а поскольку $$CK$$ — биссектриса, то

$$\angle KCB=30^\circ.$$

Следовательно,

$$KC=BC\cdot \cos 30^\circ=2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3.$$

Тогда расстояние от точки $$C$$ до середины отрезка $$A_1B_1$$ равно

$$CK_1=\sqrt{KC^2+KK_1^2}=\sqrt{(\sqrt3)^2+(2\sqrt5)^2}=\sqrt{3+20}=\sqrt{23}.$$

Ответ: $$\sqrt{23}\text{ м}$$.