Упр.55 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 4.55. При каком значении $$n$$ данные векторы перпендикулярны:
   1) $$\vec a=(2;\,-1;\,3),\quad \vec b=(1;\,3;\,n)$$;
   2) $$\vec a=(n;\,-2;\,1),\quad \vec b=(n;\,-n;\,1)$$;
   3) $$\vec a=(n;\,-2;\,1),\quad \vec b=(n;\,2n;\,4)$$;
   4) $$\vec a=(4;\,2n;\,-1),\quad \vec b=(-1;\,1;\,n)$$?

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

$$\vec a\cdot \vec b=0.$$

1. $$\vec a=(2;\,-1;\,3),\quad \vec b=(1;\,3;\,n).$$

   Тогда

   $$\vec a\cdot \vec b=2\cdot 1+(-1)\cdot 3+3n=0,$$

   $$2-3+3n=0,$$

   $$3n=1,$$

   $$n=\frac13.$$

2. $$\vec a=(n;\,-2;\,1),\quad \vec b=(n;\,-n;\,1).$$

   Тогда

   $$\vec a\cdot \vec b=n^2+(-2)(-n)+1\cdot 1=0,$$

   $$n^2+2n+1=0,$$

   $$\left(n+1\right)^2=0,$$

   $$n=-1.$$

3. $$\vec a=(n;\,-2;\,1),\quad \vec b=(n;\,2n;\,4).$$

   Тогда

   $$\vec a\cdot \vec b=n^2+(-2)\cdot 2n+1\cdot 4=0,$$

   $$n^2-4n+4=0,$$

   $$\left(n-2\right)^2=0,$$

   $$n=2.$$

4. $$\vec a=(4;\,2n;\,-1),\quad \vec b=(-1;\,1;\,n).$$

   Тогда

   $$\vec a\cdot \vec b=4\cdot(-1)+2n\cdot 1+(-1)\cdot n=0,$$

   $$-4+n=0,$$

   $$n=4.$$

Ответ: 1) $$n=\frac13$$; 2) $$n=-1$$; 3) $$n=2$$; 4) $$n=4$$.