Упр.55 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Даны прямая а и плоскость а. Докажите, что все прямые, перпендикулярные плоскости а и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости, перпендикулярной плоскости а.

Подробный ответ

Отметим произвольную точку $$A$$ на прямой $$a$$ и проведём через неё прямую $$b$$, перпендикулярную плоскости $$\alpha$$.

Через прямые $$a$$ и $$b$$ проведём плоскость $$\beta$$.

Так как прямая $$b \perp \alpha$$, а прямая $$a$$ лежит в плоскости $$\alpha$$ и проходит через точку $$A$$, то по теореме о плоскости, проходящей через прямую, перпендикулярную данной плоскости, получаем:

$$\beta \perp \alpha.$$

Теперь рассмотрим любую прямую, перпендикулярную плоскости $$\alpha$$ и пересекающую прямую $$a$$. Она проходит через некоторую точку прямой $$a$$ и, будучи перпендикулярной плоскости $$\alpha$$, параллельна прямой $$b$$. Значит, такая прямая лежит в плоскости $$\beta$$ вместе с прямыми $$a$$ и $$b$$.

Следовательно, все прямые, перпендикулярные плоскости $$\alpha$$ и пересекающие прямую $$a$$, лежат в одной плоскости $$\beta$$, причём $$\beta \perp \alpha$$.