Упр.54 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Постройте трапецию по одному углу, двум диагоналям средней линии.

Подробный ответ

Пусть $$AC$$ и $$BD$$ — диагонали искомой трапеции, $$MN$$ — её средняя линия, $$\angle A=\alpha$$.

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то для построения удобно сначала перейти к треугольнику $$ACE$$, в котором $$AE=2MN$$ и $$CE=BD$$.

1) Построим отрезок $$AE=2MN$$.

2) В точке $$A$$ проведём луч $$a$$ так, чтобы $$\angle EAC=\alpha$$.

3) Построим треугольник $$ACE$$ по сторонам $$AE$$, $$AC$$ и $$CE=BD$$. Для этого проведём окружности с центрами $$A$$ и $$E$$ радиусами соответственно $$AC$$ и $$CE$$; их пересечение обозначим через $$C$$.

4) Через точку $$C$$ проведём прямую, параллельную $$AE$$. Эта прямая пересечёт луч $$a$$ в точке $$B$$.

5) Через точку $$B$$ проведём прямую, параллельную $$CE$$. Она пересечёт отрезок $$AE$$ в точке $$D$$.

Тогда четырёхугольник $$ABCD$$ — искомая трапеция: действительно, $$BC \parallel DE$$, а значит $$BC \parallel AD$$, и одна из её диагоналей равна $$AC$$, другая — $$BD$$. Кроме того, угол $$A$$ равен заданному $$\alpha$$.