Упр.54 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дан вектор $$\vec{a}=(1; 2; 3)$$. Найдите коллинеарный ему вектор с началом в точке $$A(1; 1; 1)$$ и концом $$B$$ на плоскости $$xy$$.

Так как точка $$B$$ лежит в плоскости $$xy$$, то её третья координата равна нулю: $$B(x;y;0)$$.

Тогда координаты вектора $$\overrightarrow{AB}$$ равны

$$\overrightarrow{AB}=(x-1;\,y-1;\,-1).$$

По условию вектор $$\overrightarrow{AB}$$ коллинеарен вектору $$\vec a=(1;2;3)$$, значит, их соответствующие координаты пропорциональны:

$$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{-1}{3}.$$

Из последнего отношения получаем:

$$x-1=-\frac13,\qquad y-1=-\frac23.$$

Следовательно,

$$x=\frac23,\qquad y=\frac13.$$

Значит, искомая точка:

$$B\left(\frac23;\frac13;0\right).$$

Ответ: $$B\left(\frac23;\frac13;0\right).$$