Упр.53 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сторона основания правильной $$n$$-угольной пирамиды равна $$a$$, двугранный угол при основании равен $$\varphi$$. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду.

Проведём высоту пирамиды $$SO$$. Тогда точка $$O$$ — центр описанной около основания окружности, значит $$\triangle AOB$$ равнобедренный и

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{n}.$$

Проведём перпендикуляр $$OH\perp BA$$. По теореме о трёх перпендикулярах $$SH\perp BA$$, поэтому $$\angle SHO=\varphi$$ — линейный угол двугранного угла при основании.

В прямоугольном треугольнике $$OHB$$ отрезок $$OH$$ — высота, медиана и биссектриса, а значит

$$OH=\frac{BH}{\tg \angle HOB}=\frac{a}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$

Центр вписанного шара лежит на биссектрисе двугранного угла, поэтому

$$\angle OHO_1=\frac{\varphi}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$OO_1H$$ получаем

$$O_1O=OH\cdot \tg \angle OHO_1=OH\cdot \tg \frac{\varphi}{2}.$$

Подставляя найденное значение $$OH$$, имеем

$$r=O_1O=\frac{a\tg \frac{\varphi}{2}}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$

Ответ

$$r=\frac{a\tg \frac{\varphi}{2}}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$