Упр.53 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Из вершины прямого угла C треугольника ABC восставлен перпендикуляр CD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы треугольника, если AB = а, BC = b, CD = с.

Подробный ответ

Пусть $$CK \perp AB$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Так как $$CD \perp (ABC)$$, то по теореме о трёх перпендикулярах имеем $$DK \perp AB$$. Значит, $$DK$$ — искомое расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AB$$.

Найдём $$CK$$. Треугольник $$ABC$$ прямоугольный, поэтому

$$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{a^2-b^2}.$$

Площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить двумя способами:

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CK=\frac{1}{2}AC\cdot BC. $$

Отсюда

$$ CK=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}\cdot b}{a}. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$CDK$$:

$$ DK=\sqrt{CD^2+CK^2} =\sqrt{c^2+\left(\frac{b\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)^2}. $$

Упростим:

$$ DK=\sqrt{c^2+\frac{b^2(a^2-b^2)}{a^2}} =\sqrt{c^2+b^2-\frac{b^4}{a^2}}. $$