Упр.52 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Правильная n-угольная призма вписана в шар радиуса R. Ребро основания призмы равно а. Найдите высоту призмы при: 1) n = 3; 2) n = 4; 3) n = 6.
Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры оснований призмы, а $$O$$ — центр шара. Так как призма правильная, то она прямая, значит отрезок $$O_1O_2$$ параллелен боковым рёбрам и равен высоте призмы $$h$$. Центр шара лежит на середине этого отрезка, поэтому
$$h=O_1O_2=2OO_1.$$
В прямоугольном треугольнике $$OO_1B$$, где $$B$$ — вершина основания призмы, имеем
$$OO_1=\sqrt{R^2-r^2},$$
где $$r$$ — радиус окружности, описанной около основания. Следовательно,
$$h=2\sqrt{R^2-r^2}.$$
Теперь найдём $$r$$ для каждого случая.
1) $$n=3$$. Основание — правильный треугольник, поэтому
$$r=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$
Тогда
$$h=2\sqrt{R^2-\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}=2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{3}}.$$
2) $$n=4$$. Основание — квадрат, значит
$$r=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$
Тогда
$$h=2\sqrt{R^2-\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}=2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}}.$$
3) $$n=6$$. Основание — правильный шестиугольник, у которого
$$r=a.$$
Следовательно,
$$h=2\sqrt{R^2-a^2}.$$
Ответ
$$1)\ 2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{3}};\quad 2)\ 2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}};\quad 3)\ 2\sqrt{R^2-a^2}.$$