Упр.52 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 м и боковой стороной 5 м. Из центра вписанного круга восставлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 2 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

Пусть $$O$$ — центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$, а $$S$$ — конец перпендикуляра, восставленного из точки $$O$$ к плоскости треугольника, причём $$OS=2\text{ м}$$.

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника через $$K, M, N$$. Тогда $$OK \perp BC$$, $$OM \perp AC$$, $$ON \perp AB$$.

По теореме о трёх перпендикулярах имеем:

$$SK \perp BC,\quad SM \perp AC,\quad SN \perp AB.$$

Значит, искомое расстояние от точки $$S$$ до каждой стороны треугольника одинаково и равно $$SK=SM=SN$$.

Найдём радиус вписанной окружности $$r=OK=OM=ON$$.

Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, $$AB=BC=5\text{ м}$$, $$AC=6\text{ м}$$. Высота из вершины $$B$$ делит основание пополам, поэтому

$$MC=\frac{AC}{2}=3\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$BMC$$:

$$BM=\sqrt{BC^2-MC^2}=\sqrt{25-9}=4\text{ м}.$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BM \cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12\text{ м}^2.$$

С другой стороны,

$$S_{ABC}=pr,$$

где $$p$$ — полупериметр:

$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{5+5+6}{2}=8.$$

Тогда

$$12=8r,\quad r=1{,}5\text{ м}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$SOK$$:

$$SK=\sqrt{SO^2+OK^2}=\sqrt{2^2+1{,}5^2}=\sqrt{4+2{,}25}=\sqrt{6{,}25}=2{,}5\text{ м}.$$

Следовательно, расстояние от конца перпендикуляра до сторон треугольника равно $$2{,}5\text{ м}$$.

Ответ

$$2{,}5\text{ м}$$