Упр.52 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Дан равнобедренный треугольник с основанием $$6\ \text{м}$$ и боковой стороной $$5\ \text{м}$$. Из центра вписанного круга восставлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной $$2\ \text{м}$$. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.
Пусть $$K,$$ $$M$$ и $$N$$ — точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Тогда $$OK \perp BC,$$ $$OM \perp AC,$$ $$ON \perp AB.$$
Так как $$OS \perp (ABC),$$ то по теореме о трёх перпендикулярах имеем:
$$SK \perp BC,\quad SM \perp AC,\quad SN \perp AB.$$
Следовательно, $$SK=SM=SN$$ — искомое расстояние от точки $$S$$ до сторон треугольника.
Найдём радиус вписанной окружности. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ дано $$AC=6\text{ м},\; AB=BC=5\text{ м}.$$
Опустим высоту $$BM$$ на основание $$AC$$. Тогда $$AM=MC=3\text{ м},$$ и в прямоугольном треугольнике $$BMC$$:
$$BM=\sqrt{BC^2-MC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4\text{ м}.$$
Площадь треугольника:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BM=\frac12\cdot 6\cdot 4=12\text{ м}^2.$$
Полупериметр:
$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{5+5+6}{2}=8.$$
Тогда радиус вписанной окружности:
$$r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{12}{8}=1{,}5\text{ м}.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$SOK$$, где $$SO=2\text{ м},\; OK=r=1{,}5\text{ м}.$$ Тогда
$$SK=\sqrt{SO^2+OK^2}=\sqrt{2^2+1{,}5^2}=\sqrt{4+2{,}25}=\sqrt{6{,}25}=2{,}5\text{ м}.$$
Ответ: $$2{,}5\text{ м}.$$
