Упр.51 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Даны попарно пересекающиеся прямые а, b, с. Постройте отрезок с серединой на прямой b, перпендикулярный ей, и концами на а и с. Всегда ли задача имеет решение?

Построим прямую $$c’$$, симметричную прямой $$c$$ относительно прямой $$b$$.

Для этого возьмём произвольную точку $$C \in c$$ и проведём через неё перпендикуляр к прямой $$b$$. Пусть $$B$$ — точка пересечения этого перпендикуляра с прямой $$b$$. На продолжении перпендикуляра отметим точку $$C’$$ так, чтобы $$BC’=BC$$. Тогда прямая, проходящая через точки $$B$$ и $$C’$$, и есть образ прямой $$c$$ при симметрии относительно $$b$$.

Теперь отметим точку $$M’$$ как точку пересечения прямых $$a$$ и $$c’$$ и проведём через неё перпендикуляр к прямой $$b$$. Пусть $$M$$ — точка пересечения этого перпендикуляра с прямой $$c$$. Тогда точки $$M$$ и $$M’$$ симметричны относительно прямой $$b$$, а значит, отрезок $$MM’$$ перпендикулярен прямой $$b$$ и его середина лежит на $$b$$.

Следовательно, искомый отрезок построен: это $$MM’$$.

Однако такое построение возможно не всегда. Если прямая $$c’$$ параллельна прямой $$a$$, то точки пересечения $$a$$ и $$c’$$ не существует, и задача не имеет решения.

Ответ

Искомый отрезок можно построить как $$MM’$$, где $$M’ = a \cap c’$$, а $$M$$ — точка, симметричная $$M’$$ относительно прямой $$b$$. Задача не имеет решения, если $$c’ \parallel a$$.