Упр.51 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны попарно пересекающиеся прямые $$a$$, $$b$$, $$c$$. Постройте отрезок с серединой на прямой $$b$$, перпендикулярный ей, и концами на $$a$$ и $$c$$. Всегда ли задача имеет решение?
Построим прямую $$c’$$, симметричную прямой $$c$$ относительно прямой $$b$$.
Для этого возьмём произвольную точку $$C$$ на прямой $$c$$ и проведём через неё перпендикуляр к прямой $$b$$. Пусть $$B$$ — точка пересечения этого перпендикуляра с прямой $$b$$. На продолжении перпендикуляра отложим точку $$C’$$ так, чтобы $$BC’=BC$$. Тогда прямая, проходящая через точки $$B$$ и $$C’$$, и есть образ прямой $$c$$ при симметрии относительно $$b$$, то есть прямая $$c’$$.
Теперь отметим точку $$M’$$ как точку пересечения прямых $$a$$ и $$c’$$. Через $$M’$$ проведём перпендикуляр к прямой $$b$$ и обозначим через $$M$$ точку его пересечения с прямой $$c$$. Тогда точки $$M$$ и $$M’$$ симметричны относительно прямой $$b$$, а значит, отрезок $$MM’$$ перпендикулярен прямой $$b$$ и имеет середину на этой прямой. Его концы лежат на прямых $$c$$ и $$a$$ соответственно.
Следовательно, искомый отрезок построен.
Однако задача имеет решение не всегда: если прямая $$c’$$ параллельна прямой $$a$$, то точки их пересечения не существует, и построение невозможно.
Ответ: задача не имеет решения, если прямая $$c’$$ параллельна прямой $$a$$.
