Упр.51 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В шар радиуса $$R$$ вписана правильная треугольная пирамида с плоскими углами $$\alpha$$ при её вершине. Найдите высоту пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$S$$ — вершина пирамиды, $$ABC$$ — основание, $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$, $$H$$ — основание высоты $$SH$$ на ребро $$AC$$.

Так как пирамида правильная, то $$ABC$$ — равносторонний треугольник, а боковые рёбра равны: $$SA=SB=SC=a$$. В грани $$SAC$$ треугольник равнобедренный, поэтому высота $$SH$$ является также медианой и биссектрисой. Тогда

$$AH=AS\sin\frac{\alpha}{2}=a\sin\frac{\alpha}{2},$$

откуда

$$AC=2AH=2a\sin\frac{\alpha}{2}.$$

Найдём радиус описанной окружности около основания:

$$AO=\frac{AC\sqrt{3}}{3}=\frac{2a\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\sqrt{3}}{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ASO$$ имеем

$$SO=\sqrt{AS^2-AO^2}=\sqrt{a^2-\frac{4}{3}a^2\sin^2\frac{\alpha}{2}}=a\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^2\frac{\alpha}{2}}.$$

Так как шар описан около пирамиды, то точки $$S$$ и $$D$$ лежат на диаметре шара, проходящем через центр $$O$$, поэтому $$SD=2R$$. В прямоугольном треугольнике $$ASD$$:

$$AS^2=SD\cdot SO,$$

то есть

$$a^2=2R\cdot a\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^2\frac{\alpha}{2}}.$$

Отсюда

$$a=2R\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^2\frac{\alpha}{2}}.$$

Подставим это в формулу для высоты:

$$SO=a\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^2\frac{\alpha}{2}}=2R\left(1-\frac{4}{3}\sin^2\frac{\alpha}{2}\right).$$