Упр.51 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Точка M, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от вершины угла на расстояние $$a$$, а от его сторон — на расстояние $$b$$. Найдите расстояние от точки M до плоскости угла.

Пусть плоскость данного прямого угла обозначена через $$\alpha$$. Опустим из точки $$M$$ перпендикуляр $$MC$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$MC$$ — искомое расстояние от точки $$M$$ до плоскости угла.

Пусть стороны угла лежат на прямых $$AB$$ и $$AD$$, а вершина угла — точка $$A$$. Тогда расстояния от точки $$M$$ до сторон угла равны:

$$MB=MD=b,$$

а расстояние до вершины:

$$MA=a.$$

По теореме о трёх перпендикулярах из точки $$C$$ получаем:

$$BC\perp AB,\qquad CD\perp AD.$$

Так как наклонные $$MB$$ и $$MD$$ равны, то их проекции на плоскость $$\alpha$$ тоже равны, значит

$$BC=CD.$$

Следовательно, $$ABCD$$ — квадрат.

Из прямоугольного треугольника $$AMD$$ по теореме Пифагора:

$$AD=\sqrt{MA^2-MD^2}=\sqrt{a^2-b^2}.$$

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то

$$CD=AD=\sqrt{a^2-b^2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DCM$$:

$$MC=\sqrt{DM^2-CD^2} =\sqrt{b^2-(a^2-b^2)} =\sqrt{2b^2-a^2}.$$

Ответ: $$\sqrt{2b^2-a^2}$$.