Упр.50 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Постройте прямоугольник ABCD, диагонали которого пересекаются в данной точке О, вершина A лежит на данной прямой а, a вершины B и D — на пересекающихся прямых b и d, не проходящих через точку О. Всегда ли задача имеет решение?

Так как диагонали прямоугольника пересекаются в точке $$O$$, то эта точка является серединой обеих диагоналей. Следовательно, для диагонали $$BD$$ имеем

$$BO=OD.$$

Построим отрезок $$BD$$ с центром в точке $$O$$ так, чтобы его концы лежали на прямых $$b$$ и $$d$$.

Затем построим окружность с диаметром $$BD$$. Тогда любая точка $$A$$ этой окружности удовлетворяет условию

$$\angle BAD=90^\circ,$$

то есть угол прямой, как вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Остаётся взять точку $$A$$ на пересечении данной прямой $$a$$ и построенной окружности, а через точки $$B$$ и $$D$$ провести прямые, параллельные соответственно $$AD$$ и $$AB$$. Получим прямоугольник $$ABCD$$.

Однако такое построение возможно не всегда: если прямая $$a$$ не пересекает окружность с диаметром $$BD$$, то точку $$A$$ построить нельзя. Значит, задача имеет решение только при наличии общих точек у прямой $$a$$ и этой окружности.

Ответ

Нет, задача не всегда имеет решение. Она решается только в том случае, если прямая $$a$$ пересекает окружность с диаметром $$BD$$.