Упр.50 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, a плоский угол при вершине равен а. Найдите радиусы вписанного и описанного шаров.

Подробный ответ

Пусть $$S$$ — вершина пирамиды, $$ABCD$$ — квадрат основания, $$O$$ — центр основания, $$H$$ — основание высоты $$SH$$. Тогда $$SH \perp (ABCD)$$, а значит $$OH \perp DC$$.

Рассмотрим треугольник $$SDC$$. Он равнобедренный, так как пирамида правильная, поэтому $$SH$$ — медиана и биссектриса этого треугольника. Следовательно,

$$HC=\frac{a}{2}, \qquad \angle CSH=\frac{\alpha}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SHC$$ получаем:

$$ SC=\frac{HC}{\sin \angle CSH} =\frac{a}{2\sin \frac{\alpha}{2}}, $$

$$ SH=\frac{HC}{\tg \angle CSH} =\frac{a}{2\tg \frac{\alpha}{2}}. $$

В прямоугольном треугольнике $$SHO$$ имеем $$OH=\frac{a}{2}$$, поэтому

$$ SO=\sqrt{SH^2-OH^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4\tg^2 \frac{\alpha}{2}}-\frac{a^2}{4}} =\frac{a\sqrt{\cos \alpha}}{2\sin \frac{\alpha}{2}}. $$

Для описанного шара его центр лежит на оси пирамиды, а радиус $$R$$ равен радиусу описанной окружности сечения через вершину и диагональ основания. Из соотношений для этого сечения получаем:

$$ R=\frac{a}{4\sin \frac{\alpha}{2}\sqrt{\cos \alpha}}. $$

Теперь найдём радиус вписанного шара. В сечении плоскостью $$SOH$$ центр вписанного шара обозначим через $$O_2$$. Тогда из подобия треугольников $$SHO$$ и $$SO_2E$$ следует:

$$ \frac{OO_2}{OH}=\frac{SO-OO_2}{SH}. $$

Отсюда

$$ OO_2=\frac{OH\cdot SO}{OH+SH}. $$

Подставим найденные значения:

$$ OO_2=\frac{\frac{a}{2}\cdot \frac{a\sqrt{\cos \alpha}}{2\sin \frac{\alpha}{2}}}{\frac{a}{2}+\frac{a}{2\tg \frac{\alpha}{2}}} =\frac{a}{2}\sqrt{\frac{1-\tg \frac{\alpha}{2}}{1+\tg \frac{\alpha}{2}}}. $$

Следовательно, радиус вписанного шара равен

$$ r=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{1-\tg \frac{\alpha}{2}}{1+\tg \frac{\alpha}{2}}}. $$