Упр.50 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Расстояния от точки A до всех сторон квадрата равны а Найдите расстояние от точки A до плоскости квадрата если диагональ квадрата равна d.

Пусть $$AO$$ — искомый перпендикуляр к плоскости квадрата $$FQMN$$.

Так как расстояния от точки $$A$$ до всех сторон квадрата равны $$a$$, то наклонные $$AE$$ и $$AK$$ равны: $$AE=AK=a$$. Их проекции на плоскость квадрата равны соответственно $$OE$$ и $$OK$$.

Из условия $$AE \perp MF$$ и $$AK \perp QN$$. По теореме о трёх перпендикулярах получаем:

$$OE \perp MF,\qquad OK \perp QN.$$

Следовательно, точка $$O$$ — центр вписанной в квадрат окружности, а значит, она является точкой пересечения диагоналей квадрата. Тогда

$$ON=\frac{d}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$OKN$$ имеем $$OK=KN$$, поэтому $$\angle NOK=45^\circ$$. Отсюда

$$OK=ON\cdot \sin 45^\circ=\frac{d}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{d}{2\sqrt{2}}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOK$$:

$$AO=\sqrt{AK^2-OK^2}=\sqrt{a^2-\left(\frac{d}{2\sqrt{2}}\right)^2}=\sqrt{a^2-\frac{d^2}{8}}.$$

Ответ

$$\sqrt{a^2-\frac{d^2}{8}}$$