Упр.50 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Расстояния от точки $$A$$ до всех сторон квадрата равны $$a$$. Найдите расстояние от точки $$A$$ до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна $$d$$.

Подробный ответ

Пусть $$AO$$ — искомое расстояние от точки $$A$$ до плоскости квадрата.

Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей квадрата. Тогда $$O$$ — центр вписанной окружности, а значит, расстояния от $$O$$ до всех сторон квадрата равны.

Так как расстояния от точки $$A$$ до всех сторон квадрата равны $$a$$, то наклонные $$AE$$ и $$AK$$ равны: $$AE=AK=a$$. Их проекции на плоскость квадрата равны соответственно $$OE$$ и $$OK$$. По теореме о трёх перпендикулярах получаем, что $$AO$$ перпендикулярно плоскости квадрата, а значит, $$AO$$ — искомое расстояние.

В прямоугольном треугольнике $$OKN$$ имеем $$OK=KN$$, следовательно, $$\angle NOK=45^\circ$$. Диагональ квадрата равна $$d$$, значит,

$$ON=\frac d2.$$

Тогда

$$OK=ON\sin 45^\circ=\frac d2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac d{2\sqrt2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOK$$:

$$AO=\sqrt{AK^2-OK^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac d{2\sqrt2}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{d^2}{8}}.$$

Ответ: $$\sqrt{a^2-\frac{d^2}{8}}$$.