Упр.5 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно $$a$$.

Высота цилиндра равна высоте призмы, то есть $$h=a.$$

Основанием цилиндра является окружность, вписанная в правильный шестиугольник. Радиус этой окружности равен расстоянию от центра шестиугольника до его стороны.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, значит $$OA=OB=a,$$ а $$AB=a.$$ Тогда $$\triangle AOB$$ — равносторонний, и высота $$OD$$ равна

$$OD=\sqrt{OB^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно, радиус цилиндра $$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$ Тогда объём цилиндра:

$$V=\pi r^2h=\pi\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2\cdot a =\pi\cdot\frac{3a^2}{4}\cdot a =\frac{3}{4}\pi a^3.$$

Ответ: $$\frac{3}{4}\pi a^3.$$