Упр.5 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Высота цилиндра — $$6$$ дм, радиус основания — $$5$$ дм. Концы отрезка $$AB$$, равного $$10$$ дм, лежат на окружностях обоих оснований. Найдите кратчайшее расстояние от него до оси.

Проведём через отрезок $$AB$$ плоскость, параллельную оси цилиндра. Тогда сечение цилиндра этой плоскостью — прямоугольник $$ABCD$$, где $$AD$$ и $$BC$$ равны высоте цилиндра, то есть $$6$$ дм.

В прямоугольном треугольнике $$ADB$$:

$$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\text{ дм}.$$

Рассмотрим треугольник $$AOD$$, где $$O$$ — центр основания цилиндра. Так как $$OA=OD=5$$ дм, то треугольник $$AOD$$ равнобедренный. Опустим из точки $$O$$ перпендикуляр $$OK$$ на $$AD$$. Тогда $$K$$ — середина $$AD$$, значит

$$AK=\frac{1}{2}AD=4\text{ дм}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOK$$:

$$OK=\sqrt{OA^2-AK^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\text{ дм}.$$

Это и есть кратчайшее расстояние от отрезка $$AB$$ до оси цилиндра.

Ответ: $$3$$ дм.