Упр.5 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В плоскости $$xy$$ найдите точку $$D(x; y; 0)$$, равноудалённую от трёх данных точек: $$A(0; 1; -1)$$, $$B(-1; 0; 1)$$, $$C(0; -1; 0)$$.

Пусть $$D(x;y;0)$$ — искомая точка. Так как она равноудалена от точек $$A(0;1;-1)$$, $$B(-1;0;1)$$ и $$C(0;-1;0)$$, то

$$AD^2=(x-0)^2+(y-1)^2+(0+1)^2=x^2+y^2-2y+2,$$

$$BD^2=(x+1)^2+y^2+(0-1)^2=x^2+2x+y^2+2,$$

$$CD^2=(x-0)^2+(y+1)^2+(0-0)^2=x^2+y^2+2y+1.$$

По условию $$AD=BD=CD$$, значит, достаточно приравнять квадраты расстояний:

$$AD^2=CD^2 \Rightarrow x^2+y^2-2y+2=x^2+y^2+2y+1,$$

откуда
$$-4y+1=0,\quad y=\frac14.$$

$$BD^2=CD^2 \Rightarrow x^2+2x+y^2+2=x^2+y^2+2y+1,$$

подставляя $$y=\frac14$$, получаем
$$2x+2=2\cdot\frac14+1,$$

$$2x+2=\frac32,\quad 2x=-\frac12,\quad x=-\frac14.$$

Следовательно, искомая точка:

$$D\left(-\frac14;\frac14;0\right).$$

Ответ: $$D\left(-\frac14;\frac14;0\right).$$