Упр.5 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести более одной прямой, перпендикулярной плоскости.

Подробный ответ

Пусть через точку $$A$$ проходят две прямые, перпендикулярные плоскости $$\alpha$$, и пересекают её в точках $$B$$ и $$C$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$AB \perp \alpha$$ и $$AC \perp \alpha$$, то любая прямая плоскости $$\alpha$$, проходящая через точки $$B$$ и $$C$$, перпендикулярна соответственно прямым $$AB$$ и $$AC$$. Следовательно, углы при вершинах $$B$$ и $$C$$ прямые:

$$\angle ABC = 90^\circ,\qquad \angle ACB = 90^\circ.$$

Тогда в треугольнике $$ABC$$

$$\angle A = 180^\circ — 90^\circ — 90^\circ = 0^\circ.$$

Это возможно только в случае, если точки $$B$$ и $$C$$ совпадают. Значит, прямые $$AB$$ и $$AC$$ совпадают.

Следовательно, через точку $$A$$ можно провести только одну прямую, перпендикулярную плоскости $$\alpha$$.