Упр.5 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести более одной прямой, перпендикулярной плоскости.

Подробный ответ

Пусть через точку $$A$$ проходят две прямые $$AB$$ и $$AC$$, перпендикулярные плоскости $$\alpha$$, причём $$B$$ и $$C$$ — точки их пересечения с плоскостью $$\alpha$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$AB \perp \alpha$$ и $$AC \perp \alpha$$, то каждая из этих прямых перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $$\alpha$$ и проходящей через соответствующую точку пересечения. В частности, углы при точках $$B$$ и $$C$$ прямые:

$$\angle ABC=90^\circ,\qquad \angle ACB=90^\circ.$$

Но в треугольнике сумма углов равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle BAC=180^\circ-90^\circ-90^\circ=0^\circ.$$

Следовательно, точки $$B$$ и $$C$$ совпадают, а прямые $$AB$$ и $$AC$$ — одна и та же прямая.

Значит, через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести только одну прямую, перпендикулярную этой плоскости.