Упр.49 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Даны пересекающиеся прямые и точка, не лежащая них. Постройте отрезок с концами на данных прямых серединой в данной точке.

Подробный ответ

Пусть требуется построить отрезок с концами на прямых $$a$$ и $$b$$ так, чтобы точка $$A$$ была его серединой.

Построим точку, симметричную прямой $$b$$ относительно точки $$A$$.

Через точку $$A$$ проведём прямую, перпендикулярную прямой $$b$$, и обозначим точку её пересечения с $$b$$ через $$M$$.
На этой же перпендикулярной прямой по другую сторону от точки $$A$$ отложим отрезок $$AM’ = AM$$.
Через точку $$M’$$ проведём прямую $$b’$$, параллельную прямой $$b$$.
Обозначим через $$C$$ точку пересечения прямых $$a$$ и $$b’$$.
Проведём прямую $$CA$$ и обозначим через $$B$$ точку её пересечения с прямой $$b$$.

Тогда точки $$B$$ и $$C$$ лежат соответственно на прямых $$b$$ и $$a$$, а точка $$A$$ является серединой отрезка $$BC$$, так как прямые $$b$$ и $$b’$$ симметричны относительно точки $$A$$, значит, точки $$B$$ и $$C$$ также симметричны относительно $$A$$, то есть $$AB = AC$$.

Следовательно, искомый отрезок — $$BC$$.