Упр.49 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром $$a$$.

Правильный тетраэдр является правильной треугольной пирамидой, поэтому центр описанного шара лежит на его оси. Обозначим этот центр через $$O$$, а высоту тетраэдра — через $$DO_1$$, где $$O_1$$ — центр основания $$ABC$$.

Пусть $$M$$ — точка пересечения высоты $$DO_1$$ с поверхностью шара. Тогда $$DM$$ проходит через центр шара, значит, $$DM$$ — диаметр шара, а $$R=\dfrac{DM}{2}$$.

Так как $$ABC$$ — равносторонний треугольник со стороной $$a$$, то радиус описанной около него окружности равен

$$O_1C=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$DO_1C$$ имеем

$$DO_1=\sqrt{DC^2-O_1C^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} =a\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

В прямоугольном треугольнике $$DMC$$ угол $$\angle DCM=90^\circ$$, поэтому

$$DM=\sqrt{DC^2+CM^2}.$$

Но удобнее воспользоваться тем, что $$O_1$$ — середина диаметра $$DM$$, а значит

$$DM=2DO_1=2a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}.$$

Тогда радиус шара

$$R=\frac{DM}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$$

Ответ: $$\frac{a\sqrt{6}}{3}$$.