Упр.49 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 49. Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром а.

Подробный ответ

Пусть $$ABC D$$ — правильный тетраэдр со стороной $$a$$, а $$O$$ — центр описанного шара.

Так как правильный тетраэдр является правильной треугольной пирамидой, то точка $$O$$ лежит на его оси. Следовательно, центр шара находится на высоте тетраэдра.

Проведём высоту $$DO_1$$ тетраэдра, где $$O_1$$ — центр равностороннего треугольника $$ABC$$. Тогда прямая $$DO_1$$ пересекает поверхность шара в точке $$M$$, и отрезок $$DM$$ является диаметром шара.

Найдём радиус описанной около треугольника $$ABC$$ окружности:

$$O_1C=\frac{AB\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

Так как $$DM$$ — диаметр шара, то $$\angle DCM=90^\circ$$. Значит, треугольник $$DCM$$ прямоугольный, а $$CO_1$$ — его высота.

В прямоугольном треугольнике $$DO_1C$$ имеем:

$$ DO_1=\sqrt{DC^2-O_1C^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} =a\sqrt{\frac{2}{3}}. $$

Тогда

$$ DM=\frac{DC^2}{DO_1} =\frac{a^2}{a\sqrt{\frac{2}{3}}} =\frac{a\sqrt{6}}{2}. $$

Следовательно, радиус шара равен половине диаметра:

$$ R=\frac{DM}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}. $$