Упр.49 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основание пирамиды — квадрат, её высота проходит через одну из вершин основания. Найдите боковую поверхность пирамиды, если сторона основания равна $$20\ \text{дм}$$, а высота $$21\ \text{дм}$$ (рис. 121).
Пусть основание пирамиды $$ABCD$$ — квадрат со стороной $$AB=20$$ дм, а высота $$SB=21$$ дм проходит через вершину $$B$$.
Так как $$ABCD$$ — квадрат, то $$AB=BC=CD=DA=20$$ дм, причём $$AB \perp BC$$ и $$AB \perp AD$$.
По теореме о трёх перпендикулярах получаем:
$$AS \perp AD,\qquad CS \perp CD.$$
Рассмотрим боковые грани.
Треугольники $$ASB$$ и $$CSB$$ прямоугольные, поэтому
$$S_{ABS}=S_{CBS}=\frac12\cdot AB\cdot SB=\frac12\cdot 20\cdot 21=210\ \text{дм}^2.$$
Найдём боковое ребро $$AS$$:
$$AS=\sqrt{AB^2+SB^2}=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{841}=29\ \text{дм}.$$
Тогда треугольники $$ASD$$ и $$CSD$$ равны, и их площади равны:
$$S_{ASD}=S_{CSD}=\frac12\cdot AD\cdot AS=\frac12\cdot 20\cdot 29=290\ \text{дм}^2.$$
Следовательно, боковая поверхность пирамиды равна
$$S_{\text{бок}}=S_{ABS}+S_{CBS}+S_{ASD}+S_{CSD} =2\cdot 210+2\cdot 290=1000\ \text{дм}^2.$$
Ответ: $$1000\ \text{дм}^2=10\ \text{м}^2.$$
