Упр.49 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Основание пирамиды — квадрат, ее высота проходит через одну из вершин основания. Найдите боковую поверхность пирамиды, если сторона основания равна 20 дм, а высота 21 дм (рис. 121).

Пусть $$ABCD$$ — квадрат основания пирамиды, а $$SB$$ — её высота, причём $$SB=21$$ дм, $$AB=20$$ дм.

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то $$AB=BC=CD=DA=20$$ дм, а $$AB \perp AD$$ и $$BC \perp CD$$.

По теореме о трёх перпендикулярах получаем:

$$AS \perp AD,\qquad CS \perp CD.$$

Треугольники $$ASB$$ и $$CSB$$ прямоугольные, поэтому их площади равны:

$$S_{ABS}=S_{CBS}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot SB=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 21=210\ \text{дм}^2.$$

Найдём боковое ребро $$AS$$:

$$AS=\sqrt{AB^2+SB^2}=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{841}=29\ \text{дм}.$$

Так как $$AS=SC$$, то треугольники $$ASD$$ и $$CSD$$ равны по двум катетам, следовательно,

$$S_{ASD}=S_{CSD}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot AS=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 29=290\ \text{дм}^2.$$

Тогда боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей четырёх боковых граней:

$$S_{\text{бок}}=2S_{ABS}+2S_{ASD}=2\cdot 210+2\cdot 290=1000\ \text{дм}^2.$$

Переведём в квадратные метры:

$$1000\ \text{дм}^2=10\ \text{м}^2.$$

Ответ

$$10\ \text{м}^2$$