Упр.49 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите площадь ортогональной проекции треугольника $$ASC$$ из задачи 46 на плоскость треугольника $$ABD$$.
- Найдите площадь ортогональной проекции треугольника $$ABD$$ из задачи 46 на плоскость треугольника $$ABC$$.
Пусть точка $$E$$ — середина отрезка $$AB$$. Тогда $$CE$$ и $$DE$$ — медианы и высоты данных треугольников.
Площадь ортогональной проекции треугольника равна площади самого треугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями.
1) Для треугольника $$ASC$$, спроецированного на плоскость $$ABD$$:
$$CE=5\text{ см}, \qquad \cos \alpha=\frac{1}{14}$$
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CE=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 5=60\text{ см}^2$$
$$S=\;S_{ABC}\cos\alpha=60\cdot \frac{1}{14}=\frac{30}{7}\text{ см}^2$$
или, если $$AB=32\text{ м}$$, $$CE=63\text{ м}$$ и $$\cos\alpha=\frac{2}{21}$$:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 32\cdot 63=1008\text{ м}^2$$
$$S=1008\cdot \frac{2}{21}=96\text{ м}^2$$
2) Для треугольника $$ABD$$, спроецированного на плоскость $$ABC$$:
$$DE=35\text{ см}, \qquad \cos \alpha=\frac{1}{14}$$
$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot DE=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 35=420\text{ см}^2$$
$$S=420\cdot \frac{1}{14}=30\text{ см}^2$$
или, если $$AB=32\text{ м}$$, $$DE=12\text{ м}$$ и $$\cos\alpha=\frac{2}{21}$$:
$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot 32\cdot 12=192\text{ м}^2$$
$$S=192\cdot \frac{2}{21}=\frac{128}{7}\text{ м}^2$$
Ответ: 1) $$\frac{30}{7}\text{ см}^2$$ или $$96\text{ м}^2$$; 2) $$30\text{ см}^2$$ или $$\frac{128}{7}\text{ м}^2$$.
