Упр.49 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: 1) Найдите площадь ортогональной проекции треугольника ASC из задачи 46 на плоскость треугольника ABD.2) Найдите площадь ортогональной проекции треугольника ABD из задачи 46 на плоскость треугольника ABC.

Пусть точка $$E$$ — середина отрезка $$AB$$. Тогда $$CE$$ и $$DE$$ — медианы и высоты в соответствующих треугольниках.

1) Площадь ортогональной проекции треугольника $$ASC$$ на плоскость треугольника $$ABD$$ равна площади треугольника $$ABC$$, умноженной на $$\cos \alpha$$:

$$ S_{1}=S_{ABC}\cos\alpha $$

Из задачи 46: $$CE=5\text{ см}$$ и $$\cos\alpha=\frac{1}{14}$$, либо $$CE=63\text{ м}$$ и $$\cos\alpha=\frac{2}{21}$$.

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CE $$

Если $$AB=24\text{ см}$$, то

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 5=60\text{ см}^2, \qquad S_{1}=60\cdot \frac{1}{14}=\frac{30}{7}\text{ см}^2. $$

Если $$AB=32\text{ м}$$, то

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 32\cdot 63=1008\text{ м}^2, \qquad S_{1}=1008\cdot \frac{2}{21}=96\text{ м}^2. $$

2) Площадь ортогональной проекции треугольника $$ABD$$ на плоскость треугольника $$ABC$$ равна

$$ S_{2}=S_{ABD}\cos\alpha. $$

Из задачи 46: $$DE=35\text{ см}$$ и $$\cos\alpha=\frac{1}{14}$$, либо $$DE=12\text{ м}$$ и $$\cos\alpha=\frac{2}{21}$$.

$$ S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot DE $$

Если $$AB=24\text{ см}$$, то

$$ S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 35=420\text{ см}^2, \qquad S_{2}=420\cdot \frac{1}{14}=30\text{ см}^2. $$

Если $$AB=32\text{ м}$$, то

$$ S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot 32\cdot 12=192\text{ м}^2, \qquad S_{2}=192\cdot \frac{2}{21}=\frac{128}{7}\text{ м}^2. $$

Ответ

$$1)\ \frac{30}{7}\text{ см}^2\ \text{или}\ 96\text{ м}^2;\qquad 2)\ 30\text{ см}^2\ \text{или}\ \frac{128}{7}\text{ м}^2.$$