Упр.49 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

3. Через конец $$A$$ отрезка $$AB$$ длины $$b$$ проведена плоскость, перпендикулярная отрезку, и в этой плоскости проведена прямая. Найдите расстояние от точки $$B$$ до прямой, если расстояние от точки $$A$$ до прямой равно $$a$$.

Пусть $$AA_1=a$$ — расстояние от точки $$A$$ до прямой $$c$$, то есть $$AA_1 \perp c$$ и $$A_1 \in c$$.

Так как плоскость $$\alpha$$ проведена через конец отрезка $$AB$$ и перпендикулярна ему, то $$AB \perp \alpha$$. Следовательно, $$AB \perp AA_1$$, поскольку $$AA_1$$ лежит в плоскости $$\alpha$$.

Кроме того, по теореме о трёх перпендикулярах из $$AB \perp \alpha$$ и $$AA_1 \perp c$$ следует, что $$BA_1 \perp c$$. Значит, $$BA_1$$ — искомое расстояние от точки $$B$$ до прямой $$c$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABA_1$$. По теореме Пифагора:

$$BA_1^2=BA^2+AA_1^2=b^2+a^2$$

Тогда

$$BA_1=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Ответ: $$\sqrt{a^2+b^2}$$.