Упр.48 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Постройте треугольник по его двум углам и периметру.

Построим произвольный треугольник $$ABC$$ с заданными углами $$\alpha$$ и $$\beta$$: проведём произвольный отрезок $$AC$$, а через его концы — лучи, образующие с ним углы $$\alpha$$ и $$\beta$$. Их пересечение обозначим через $$B$$.

Затем «развернём» периметр треугольника в прямую: на произвольном луче отложим последовательно отрезки, равные $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$. Получим отрезок длины $$P$$.

Найдём коэффициент гомотетии:

$$k=\frac{P}{AB+BC+CA}.$$

На луче $$AB$$ отложим отрезок $$AD=k\cdot AB$$, а на луче $$AC$$ — отрезок $$AE=k\cdot AC$$. Соединим точки $$D$$ и $$E$$.

Треугольник $$ADE$$ — искомый, так как он получен из треугольника $$ABC$$ гомотетией с коэффициентом $$k$$, а значит, подобен ему и имеет те же углы $$\alpha$$ и $$\beta$$. При этом его периметр равен

$$P_{ADE}=k(AB+BC+CA)=P.$$

Ответ: построение выполнено.