Упр.48 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано: Шар вписан в правильную пирамиду;
Доказать: Центр шара лежит на высоте пирамиды;
Доказательство:
1) Опустим перпендикуляр OA из центра шара O на плоскость
основания пирамиды;
2) Пусть X-произвольная точка касания и грани куба;
3) Проведем XM OA, тогда по теореме Пифагора в OXM:
XM=v(OX^2-OM^2 )=v(R^2-OM^2 );
4) Следовательно длина отрезка XM одна и та же для любой точки
касания X, тогда точка M-центр окружности, вписанной в сечение
пирамиды перпендикулярное OO_1, значит центр шара O лежит на
высоте пирамиды, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Опустим перпендикуляр $$OA$$ из центра шара $$O$$ на плоскость основания пирамиды. Пусть $$X$$ — произвольная точка касания шара с гранью пирамиды. Проведём $$XM \perp OA$$, где $$M$$ — основание перпендикуляра.

Так как $$OX=R$$ — радиус шара, то в прямоугольном треугольнике $$OXM$$ по теореме Пифагора имеем

$$XM=\sqrt{OX^2-OM^2}=\sqrt{R^2-OM^2}.$$

Следовательно, длина отрезка $$XM$$ не зависит от выбора точки касания $$X$$. Значит, точка $$M$$ равноудалена от всех точек касания шара с гранями пирамиды, то есть является центром окружности, вписанной в сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ось симметрии и перпендикулярной основанию.

В правильной пирамиде такая прямая совпадает с высотой пирамиды. Поэтому центр шара $$O$$ лежит на высоте пирамиды.