Упр.48 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами $$40\text{ см}$$, $$25\text{ см}$$ и $$25\text{ см}$$. Ее высота проходит через вершину угла, противолежащего стороне $$40\text{ см}$$, и равна $$8\text{ см}$$. Найдите боковую поверхность пирамиды.
Пусть $$D$$ — вершина пирамиды, а $$A$$ — вершина основания, через которую проходит высота пирамиды. Тогда $$DA=8$$ см и $$DA\perp (ABC)$$.
Основание $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, где $$AB=AC=25$$ см, $$BC=40$$ см. Проведём $$AK\perp BC$$. Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AK$$ — также медиана, значит
$$KC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 40=20\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $$AKC$$:
$$AK=\sqrt{AC^2-KC^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{625-400}=15\text{ см}.$$
Рассмотрим боковые грани $$\triangle DAB$$ и $$\triangle DAC$$. Они равны, так как $$AB=AC$$, а $$DA$$ — общая высота пирамиды. Поэтому
$$S_{DAB}=S_{DAC}=\frac{1}{2}\cdot DA\cdot AK=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 15=60\text{ см}^2.$$
Теперь найдём площадь грани $$DBC$$. В прямоугольном треугольнике $$DAK$$:
$$DK=\sqrt{DA^2+AK^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=17\text{ см}.$$
Тогда
$$S_{DBC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot DK=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 17=340\text{ см}^2.$$
Следовательно, боковая поверхность пирамиды равна
$$S_{\text{бок}}=S_{DAB}+S_{DAC}+S_{DBC}=60+60+340=460\text{ см}^2.$$
Ответ
$$460\text{ см}^2$$
