Упр.48 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 40 см, 25 см и 25 см. Ee высота проходит через вершину угла, противолежащего стороне 40 см, и равна 8 см. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Подробный ответ

Проведём в основании пирамиды высоту $$AK \perp BC$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$DK \perp BC$$.

Так как боковые рёбра $$DA$$ и $$DB$$ образуют с основанием равные треугольники $$\triangle ADC$$ и $$\triangle ADB$$, то их площади равны:

$$S_{ADC}=S_{ADB}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 25=100\ \text{см}^2.$$

Поскольку $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AK$$ — и высота, и медиана, значит

$$KC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 40=20\ \text{см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$\triangle ACK$$:

$$AK=\sqrt{AC^2-KC^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{625-400}=15\ \text{см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$\triangle ADK$$:

$$DK=\sqrt{AD^2+AK^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=17\ \text{см}.$$

Тогда площадь боковой грани $$DBC$$ равна:

$$S_{DBC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot DK=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 17=340\ \text{см}^2.$$