Упр.48 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дан равносторонний треугольник со стороной $$a$$. Найдите площадь его ортогональной проекции на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный: 1) $$30^\circ$$; 2) $$45^\circ$$; 3) $$60^\circ$$.

Подробный ответ

Пусть $$E$$ — середина стороны $$AB$$. Тогда $$CE$$ — медиана и высота равностороннего треугольника $$ABC$$.

В прямоугольном треугольнике $$CEB$$ имеем

$$EB=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2},$$
$$CE=\sqrt{CB^2-EB^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CE=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Площадь ортогональной проекции плоской фигуры на другую плоскость равна площади исходной фигуры, умноженной на $$\cos \varphi$$, где $$\varphi$$ — угол между плоскостями. Поэтому

$$S_{\text{пр}}=S_{ABC}\cos\varphi.$$

1) При $$\varphi=30^\circ$$:

$$S_{\text{пр}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \cos 30^\circ=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2}{8}.$$

2) При $$\varphi=45^\circ$$:

$$S_{\text{пр}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \cos 45^\circ=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a^2\sqrt{6}}{8}.$$

3) При $$\varphi=60^\circ$$:

$$S_{\text{пр}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \cos 60^\circ=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{8}.$$

Ответ: $$\frac{3a^2}{8};\ \frac{a^2\sqrt{6}}{8};\ \frac{a^2\sqrt{3}}{8}.$$