Упр.48 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Из вершины равностороннего треугольника $$ABC$$ восставлен перпендикуляр $$AD$$ к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки $$D$$ до стороны $$BC$$, если $$AD=13\ \text{см}$$, $$BC=6\ \text{см}$$.

Пусть $$K$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$D$$ на сторону $$BC$$, то есть $$DK \perp BC$$. Тогда $$DK$$ и есть искомое расстояние от точки $$D$$ до прямой $$BC$$.

Так как $$AD \perp (ABC)$$, то $$AD \perp BC$$. Кроме того, в равностороннем треугольнике $$ABC$$ высота $$AK$$ является также медианой, значит

$$BK=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 6=3\text{ см}.$$

Найдём $$AK$$ из прямоугольного треугольника $$ABK$$:

$$AK=\sqrt{AB^2-BK^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DAK$$. По теореме Пифагора:

$$DK=\sqrt{AD^2+AK^2}=\sqrt{13^2+27}=\sqrt{196}=14\text{ см}.$$

Ответ: $$14\text{ см}$$.