Упр.48 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Из вершины равностороннего треугольника ABC восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны BC, если AD = 13 см, BC = 6 см.

Пусть $$K$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$D$$ на сторону $$BC$$, то есть $$DK \perp BC$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах проекция отрезка $$DK$$ на плоскость треугольника также перпендикулярна $$BC$$, значит $$AK \perp BC$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний и $$BC=6$$ см, то $$AK$$ — высота и медиана, поэтому

$$BK=\frac{1}{2}BC=3\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABK$$ по теореме Пифагора:

$$ AK=\sqrt{AB^2-BK^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{ см}. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DAK$$. По теореме Пифагора:

$$ DK=\sqrt{AD^2+AK^2}=\sqrt{13^2+27}=\sqrt{169+27}=\sqrt{196}=14\text{ см}. $$

Ответ

$$14\text{ см}$$