Упр.47 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано: Угол с вершиной в точке B и точка A, лежащая внутри него;
Построить: Окружность, касающуюся сторон угла и проходящую
через точку A;
Решение:
1) Построим биссектрису данного угла и отметим на ней произ-
вольную точку O_1;
2) Проведем перпендикуляр O_1 M к стороне угла и построим
окружность с центром в точке O_1 и радиусом O_1 M, тогда данная
окружность касается сторон данного угла;
3) Проведем прямую BA и отметим точку F на пересечении
окружности и прямой BA;
4) Проведем прямую, параллельную отрезку FO_1 и отметим точку O
на пересечении этой прямой и биссектрисы угла;

Подробный ответ

Пусть дан угол с вершиной в точке $$B$$ и точка $$A$$, лежащая внутри него.

Построим биссектрису данного угла и отметим на ней произвольную точку $$O_1$$.
Из точки $$O_1$$ опустим перпендикуляр $$O_1M$$ на одну из сторон угла. Тогда окружность с центром $$O_1$$ и радиусом $$O_1M$$ касается обеих сторон угла, так как центр лежит на биссектрисе.
Проведём прямую $$BA$$ и отметим точку $$F$$ на пересечении этой прямой с построенной окружностью.
Через точку $$F$$ проведём прямую, параллельную отрезку $$FO_1$$, и отметим точку $$O$$ на пересечении этой прямой с биссектрисой угла.
Построим окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OA$$.

Полученная окружность проходит через точку $$A$$ и касается сторон угла, так как она получается из первой окружности гомотетией с центром в точке $$B$$. Следовательно, искомая окружность построена.

Возможен и второй вариант построения: если на прямой $$BA$$ взять другую точку пересечения с первой окружностью, то получится вторая искомая окружность.