Упр.47 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дано: В шар вписана правильная пирамида;
Доказать: Центр шара лежит на оси пирамиды;
Доказательство:
1) Опустим перпендикуляр OA из центра шара O на плоскость
основания пирамиды;
2) Пусть X-произвольная вершина основания пирамиды, тогда
по теореме Пифагора: AX^2=OX^2-OA^2=R^2-OA^2;
3) Следовательно длина отрезка AX одна и та же для любой вершины
пирамиды, тогда точка A-центр окружности, описанной около
основания пирамиды, значит центр шара O лежит на оси пирамиды,
что и требовалось доказать.

Опустим перпендикуляр $$OA$$ из центра шара $$O$$ на плоскость основания пирамиды.

Пусть $$X$$ — произвольная вершина основания пирамиды. Тогда треугольник $$OAX$$ прямоугольный, и по теореме Пифагора

$$AX^2=OX^2-OA^2=R^2-OA^2,$$

где $$R$$ — радиус шара.

Значит, расстояние $$AX$$ одинаково для любой вершины основания. Следовательно, точка $$A$$ равноудалена от всех вершин основания, то есть является центром окружности, описанной около основания пирамиды.

В правильной пирамиде прямая, проходящая через вершину пирамиды и центр основания, является осью пирамиды. Так как центр шара $$O$$ лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проведённом через центр основания $$A$$, то он лежит на оси пирамиды.

Что и требовалось доказать.